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设10元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，则该齐次线性方程组的基础解系由____个解向量组成。
参考答案和解析
因｜A｜=0所以AA * =｜A｜I=0将A * 按列分块A * =(α 1 α 2 ……α n )其中α=(A k1 A k2 …A kn ) T ．由AA * =A(α 1 α 2 ……α n )=(A a1 A a2 …A an )=(00…0)知α k (k=12…n)是齐次线性方程组的解．由已知条件｜A｜=0Aα kl ≠0知A的一个n一1阶子式不为零．故r(A)=n—1．所以n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量由A kl ≠0知η≠0因此η=(A k1 A k2 …A kl …A kn )是这个方程组的一个基础解系． 因｜A｜=0,所以AA*=｜A｜I=0,将A*按列分块,A*=(α1,α2……αn),其中α=(Ak1,Ak2,…,Akn)T．由AA*=A(α1,α2……αn)=(Aa1,Aa2,…,Aan)=(0,0,…,0)知αk(k=1,2,…,n)是齐次线性方程组的解．由已知条件｜A｜=0,Aαkl≠0知A的一个n一1阶子式不为零．故r(A)=n—1．所以n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量,由Akl≠0知η≠0,因此η=(Ak1,Ak2…,Akl…,Akn)是这个方程组的一个基础解系．
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考题
填空题设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充要条件是|A|____。
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