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12、设E是赋范空间X的子空间。若E是Banach空间，则E是闭子空间。反之不成立。
参考答案和解析
设 g(x)d(x，E 2 )=inf{‖x-y‖:y∈E 2 }， x∈X 则g是X上的实值连续函数。因E 1 是紧的，则存在x 1 ∈E 1 使得 g(x 1 )≤g(x)， x∈E 1 (1) 因为 且E 2 是闭的，所以有d(x 1 ，E 2 )﹥0，即g(x 1 )﹥0。设0﹤r﹤g(x 1 )。假设x∈(E 1 +U(0，r))∩E 2 ，则x∈E 2 且x=y+z，y∈E 1 ，z∈U(0，r)。所以 g(y)=d(y，E 2 )≤d(y，x)=‖x-y‖=‖z‖﹤r﹤g(x 1 ) 但因y∈E 1 ，由式(1)有g(x 1 )≤g(y)。这就产生了矛盾。所以(E 1 +U(0，r))∩E 2 =
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