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简述偏微分方程的应用及来源
参考答案和解析
齐次线性偏微分方程的特征方程为 ，有首次积分y=-2x 2 +c．故偏微分方程的解为 z=Ф(y+2x 2 )， 其中Ф为变元的任意连续可微函数．$非齐次拟线性偏微分方程的特征方程为 ，有首次积分 ，tanz=-ctanx+c 1 和 ， ，2y-sec 2 z=c 2 ．两个首次积分相互独立，得偏微分方程的通解为 Ф(tanz+ctanx，2y-sec 2 x)=0， 其中Ф为变元的任意连续可微函数．$非齐次拟线性偏微分方程的特征方程为 ，有首次积分 ，xy=c 1 及 ，y 2 dy=c 1 dz，y 3 =3c 1 z+c 2 =3xyz+c 2 ，两个首次积分相互独立，得方程的通解为 其中 为变元的任意连续可微函数．上式当 时亦可表为 ， 其中 ，Ψ为变元的任意连续可微函数． 实际上，因第2首次积分有 ，两个首次积分有关系c 2 =Ф(c 1 )时得
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