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过点A（0，3）和B（2，1）的直线方程是（)
A．x+y−1=0
B．x−y−3=0
C．x+y−3=0
D．2x−y−1=0
参考答案和解析
（1）设点P的坐标为（x，y）， 由题意可知，点 A( 3b 2 ， y 0 )， F 2 (2b，0) 所以，直线AF 2 的方程为 y= 2 y 0 -b (x-2b) ， 令x=0，得y=4y 0 ， 即点P 2 的坐标为（0，4y 0 ） ∴ x= x 0 2 y= y 0 +4 y 0 2 ，可得 x 0 =2x y 0 = 2 5 y ， 而点P 1 （x 0 ，y 0 ）在双曲线上， 所以 4 x 2 3 b 2 - 4 y 2 25 b 2 =1 ， 即线段P 1 P 2 的中点P的轨迹E的方程为： 4 x 2 3 b 2 - 4 y 2 25 b 2 =1 …4分 （2）假设符合题意的直线l存在，显然直线l斜率不为0，而F 2 （2b，0）， 故可设直线l的方程为x=ky+2b，点R 1 （x 3 ，y 3 ）、R 2 （x 2 ，y 2 ）， 由 4 x 2 3 b 2 - 4 y 2 25 b 2 =1 x=ky+2b ?( k 2 - 3 25 ) y 2 +4kby+ 13 4 b 2 =0 ， 显然， k 2 - 3 25 ≠0 ， ∴ △＞0 y 2 + y 3 = -4kb k 2 - 3 25 y 2 y 3 = 13 b 2 4( k 2 - 3 25 ) ， 由题可知， y 2 y 3 = 13 b 2 4( k 2 - 3 25 ) ＜0 ， 所以 k 2 ＜ 3 25 ． 由已知 O R 1 ? O R 2 = x 2 x 3 + y 2 y 3 =( k 2 +1) y 2 y 3 +2kb( y 2 + y 3 )+4 b 2 =4 b 2 ， ∴ 13 b 2 ( k 2 +1) 4( k 2 - 3 25 ) - 8 k 2 b 2 k 2 - 3 25 =0 ， 即 k 2 = 13 19 与 k 2 ＜ 3 25 矛盾 故不存在符合题意的直线…9分 （3），因为（Ⅰ）中轨迹E的方程为： 4 x 2 3 b 2 - 4 y 2 25 b 2 =1 ， 令y=0，则有 x=± 3 2 b 不妨设 B(- 3 2 b，0)，D( 3 2 b，0) ， 则直线QB的方程为 y( x 1 + 3 2 b)= y 1 (x+ 3 2 b) ， 令x=0，得 M(0， 3 2 b y 1 x 1 + 3 2 b ) ， 直线QD的方程为 y( x 1 - 3 2 b)= y 1 (x- 3 2 b) ， 令x=0，得 N(0， - 3 2 b y 1 x 1 - 3 2 b ) ， 以MN为直径的圆的方程为 x 2 +(y- 3 2 b y 1 x 1 + 3 2 b )(y- - 3 2 b y 1 x 1 - 3 2 b )=0 ， 即 x 2 + y 2 + 3 2 b 2 y 1 x 1 2 - 3 4 b 2 y- 3 4 b 2 y 1 2 x 1 2 - 3 4 b 2 =0 ， 点Q（x 1 ，y 1 ）在曲线E上，则有 x 2 - 3 b 2 4 = 3 y 1 2 25 ， 所以，以MN为直径的圆的方程为 x 2 + y 2 + 25 b 2 2 y 1 y- 25 b 2 4 =0 ， 当y=0时，恒有 x=± 5 2 b ，即证以MN为直径的圆恒过两个定点 (± 5 2 b，0) ．…14分
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